Serwis Matematyczny OMIKRON

Funkcje trygonometryczne

Niech α będzie kątem ostrym w trójkącie prostokątnym ABC.

Sinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie.

Cotangensem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta.

sinα = a/c
cosα = b/c
tgα = a/b
ctgα = b/a

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

	30^o	45^o	60^o
sinα
cosα
tgα		1
ctgα		1

Kąt skierowany

Kąt skierowany jst to uporządkowana para półprostych o wspólnym wierzchołku. Jego miarę określamy jako dodatnią wtedy, gdy obrót ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara; jako ujemną, gdy obrót ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta środkowego w okręgu określana jest jako stosunek długości łuku, na którym ten kąt jest oparty do długości promienia okręgu.

α - miara łukowa
α^o - miara stopniowa

Nieraz spotykamy się z jeszcze jedną jednostką tzw. gradusami. Gradus jest to jedna setna kąta prostego (czyli jedna czterysetna kąta pełnego).

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Sinusem dowolnego kąta α nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu.
sinα = y/r

Cosinusem dowolnego kąta α nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu.
cosα = x/r

Tangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do odciętej tego punktu.
tgα = y/x

Cotangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do rzędnej tego punktu.
ctgα = x/y

Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

Ćwiartka	I	II	III	IV
Kąty	(0;π/2)	(π/2;π)	(π;3π/2)	(3π/2;2π)
sin α	+	+	-	-
cos α	+	-	-	+
tg α	+	-	+	-
ctg α	+	-	+	-

W zapamiętaniu znaków (gdyż są one bardzo istotne) może pomóc wierszyk:
"W pierwszej wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus."

Wzory redukcyjne

φ	π/2-α	π/2+α	π-α	π+α	3π/2-α	3π/2+α	2π-α	2π+α
sinφ	cosα	cosα	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα	sinα
cosφ	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα	sinα	cosα	cosα
tgφ	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα
ctgφ	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα

Wzorów redukcyjnych nie trzeba uczyć się na pamięć. Wystarczy zapamiętać dwie zasady:
1. Jeśli potrzebujemy użyć wzoru z nieparzystą wielokrotnością π
np. π/2 + α czy 3*π/2 - α, wtedy funkcja przechodzi w cofunkcję np. sinx w cosx, ctgx w tgx, jeśli jest to parzysta wielokrotność np. 2*π/2 + α czyli π + α to funkcja pozostaje niezmieniona.
2. Znak ustalamy na podstawie znaku funkcji wyjściowej dla danego kąta (określamy do której ćwiartki należy).
Zobacz jak te zasady działają w powyższej tabelce i zapamiętaj je!

Parzystość funkcji trygonometrycznych

-sinx=sin(-x) - funkcja nieparzysta
cosx=cos(-x) - funkcja parzysta
-tgx=tg(-x) - funkcja nieparzysta
-ctgx=ctg(-x) - funkcja nieparzysta

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

sin²α + cos²α = 1

tgα*ctgα=1 jeśli tangens i cotangens istnieją

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne wyrażone za pomocą

Niech = t

Zastosowanie: przy rozwiązywaniu skomplikowanych równań

Okresy podstawowe funkcji trygonometrycznych

sin(2π + α) = sinα
cos(2π + α) = cosα
tg(π + α) = tgα
ctg(π + α) = ctgα

Wykresy funkcji trygonometrycznych

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x)=tgx

f(x)=ctgx

Rozwiązania równań trygonometrycznych

Równanie	Rozwiązanie (kC)
sinx=sinx_o	x = x_o + 2kπ lub x = π - x_o + 2kπ
cosx=cosx_o	x = x_o + 2kπ lub x = -x_o + 2kπ
tgx=tgx_o	x = x_o + kπ
tgx=ctgx_o	x = x_o + kπ

Funkcje cyklometryczne

Funkcjami cyklometrycznymi nazywamy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych określone jednak tylko na przedziałach, w których funkcje trygonometryczne są wzajemnie jednoznaczne. I tak:

Zgodnie z definicją wykresy funkcji trygonometrycznych są symetryczne względem osi y=x:

Wykresy funkcji cyklometrycznych

f(x)=arcsinx	f(x)=arccosx

f(x)=arctgx	f(x)=arcctgx