|
Postać ogólna funkcji kwadratowej
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) w postaci ogólnej nazywamy funkcję o wzorze y=ax2+bx+c, gdzie a 0; a,b,c R, xR
Wyróżnik kwadratowy
Δ = b2-4ac
Wykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie
W=(-b/2a;-Δ/4a).
Położenie paraboli oraz skierowanie ramion zależy od znaków a i Δ.
| a > 0 i Δ > 0 | a > 0 i Δ = 0 | a > 0 i Δ < 0 |
 |  |  |
| a < 0 i Δ > 0 | a < 0 i Δ = 0 | a < 0 i Δ < 0 |
 |  |  |
Postać kanoniczna
Zatem wykres funkcji kwadratowej powstaje w wyniku przesunięcia wykresu y=ax2 o wektor [-b/2a;-Δ/4a].
Postać iloczynowa
Jeżeli Δ 0 to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej y=a(x-x1)(x-x2)
x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji.
Miejsce zerowe funkcji kwadratowej
Jeśli Δ>0 to funkcja ma dwa miejsca zerowe (dwa różne rozwiązania):
 lub 
Jeśli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe (dwa identyczne rozwiązania):
Jeśli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych (rozwiązań)
UWAGA: W zadaniach z parametram często pojawia się określenie "dwa różne rozwiązania" - wtedy Δ>0. Jeśli natomiast padnie określenie "dwa rozwiązania" oznacza to, że najczęściej bierzemy pod uwagę też rozwiązania identyczne, czyli także Δ=0, zwrot "dwa miejsca zerowe" rozumiany jest najczęściej jako "dwa różne rozwiązania". Jednak jeśli nie ma dokładnie sprecyzowanego polecenia, często można popełnić tu błąd (tzn. myśleć inaczej niż autor) dlatego należy zwracać uwagę na tę część treści.
Wzory Viete'a
Jeśli istnieją rozwiązania funkcji kwadratowej, zachodzą związki:
 , 
Zastosowanie wzorów Viete'a
Wzory Viete'a stosujemy najczęsciej do rozwiązywania równań kwadratowym z parametrem. Zauważmy, że:
| Równanie ma: | Założenia |
| dwa dodatnie pierwiastki | Δ 0
x1*x2>0
x1+x2>0 |
| dwa ujemne pierwiastki | Δ 0
x1*x2>0
x1+x2<0 |
dwa pierwiastki
różnych znaków | Δ > 0
x1*x2<0
|
Równania dwukwadratowe
Równania postaci ax4+bx2+c=0 nazywamy równaniami dwukwadratowymi. Rozwiązujemy je, wstawiając jako x2 pomocniczą zmienną t.
Zatem wtedy otrzymujemy równanie at2+bt+c=0, które rozwiązujemy jako zwykłe kwadratowe. Na koniec musimy pamiętać, aby t było liczbą nieujemną, gdyż taką właśnie jest x2.
| 
