|
Ogólne pojęcie funkcji
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemy elementowi ze zbioru X przyporządkowujemy tylko jeden element ze zbioru Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji. Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Zbiór tych elementów ze zbioru Y, które zostały przypisane elementom ze zbioru X, nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Funkcja liczbowa
Jeśli niepuste zbiory X i Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, to tę funkcję nazywamy funkcją liczbową zmiennej rzeczywistej.
Sposoby opisywania funkcji
1. przepis słowny
2. tabelka
3. graf
4. zbiór par uporządkowanych
5. wzór
6. wykres
Wykres funkcji liczbowej
Wykresem funkcji liczbowej nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,y) w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x jest argumentem funkcji, y zaś wartością funkcji dla argumentu x.
Miejsce zerowe
Miejsce zerowe jest to argument funkcji (nie punkt, a więc np. x=3, natomiast nie P(3,0)) dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.
Monotoniczność
Jeżeli x1, x2  A i A  X to:
a) funkcja jest rosnąca w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
x1 < x2  f(x1) < f(x2)
b) funkcja jest malejąca w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
c) funkcja jest stała w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy f(x1) = f(x2)
Aby sprawdzić / udowodnić monotoniczność funkcji w danym przedziale, należy zbadać znak różnicy f(x1) - f(x2) przy założeniu, że x1 i x2 należą do tego przedziału i x1 < x2. Jeśli różnica będzie ujemna to funkcja jest rosnąca, jeśli dodatnia to funkcja jest malejąca w danym przedziale.
Różnowartościowość
Jeżeli x1, x2 X to funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
[ x1  x2 f(x1) f(x2) ]
Nie istnieje taka prosta równoległa do osi OX przecinająca wykres funkcji f(x) w dwóch punktach.
Parzystość i nieparzystość
Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy
Wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY:
Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy
Wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0,0):
Okresowość
Funkcja jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy
Funkcjami okresowymi są np. wszystkie funkcje trygonometryczne.
Funkcja złożona
Złożeniem funkcji f z funkcją g nazywamy taką funkcję, że:
Funkcja ta określona jest wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g. Jeżeli ten warunek nie jest spełniony to aby złożyć funkcje f i g należy tak ograniczyć dziedzinę funkcji f (wewnętrznej), aby jej zbiór wartości był podzbiorem dziedziny funkcji g (zewnętrznej).
Składanie funkcji nie jest działaniem przemiennym, jest natomiast działaniem łącznym.
Funkcja odwrotna
Funkcję odwrotną otrzymujemy podczas zamiany zmiennych x i y. Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y=x.
Przekształcenia wykresów
Symetria względem osi OX
Symetria względem osi OY
Symetria względem punktu (0,0)
Przesunięcie o wektor [p,q]
Wykres funkcji |f(x)|
Wykres funkcji f(|x|)
Wykres funkcji k*f(x)
Wykres funkcji f(k*x)
| 
