Definicja

Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x_o wtedy i tylko wtedy, gdy:


Tak więc f(x) jest ciągła w punkcie x_o wtedy i tylko wtedy, gdy:
1) ma punkcie x_o granicę
2) ma w punkcie x_o wartość f(x_o)
3) granica g jest równa wartości f(x_o)

Suma, różnica i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Ponadto jeśli g(x_o)0 i f(x) i g(x) są ciągłe w x_o, to f(x)/g(x) jest także ciągła w tym punkcie.

Funkcje ciągłe w swojej dziedzinie

1. f(x) = c
2. każdy wielomian
3. każda funkcja wymierna (ale tylko w swojej dziedzinie!!!)
4. f(x)=sinx, f(x)=cosx
5. f(x)=tgx
6. f(x)=ctgx
7. f(x)=a^x
8. f(x)=log_ax

Sprawdzanie ciągłości

Aby sprawdzić czy funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x_o należy:

1. policzyć granice jednostronne funkcji f(x) dla . Jeżeli są one właściwe i równe, to oznacza że granica w tym punkcie istnieje i jest równa wartości granicy jednostronnej.
2. policzyć wartość funkcji w punkcie x_o, jeśli istnieje
3. porównać granice funkcji z jej wartością, jeśli są równe to możemy stwierdzić, że funkcja jest ciągła w punkcie x_o