Definicja wielomianu

Wielomianem nazywamy funkcję:
W(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀,
gdzie współczynnik i zmienna x są liczbami rzeczywistymi.
Jeśli a_n0 to n jest stopniem wielomianu.
W szczególności:
W(x) = 0 - wielomian zerowy
W(x) = a₀ - wielomian stopnia zero

Podzielność wielomianu

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), różny od wielomianu zerowego, wtedy i tylko wtedy, gdy instnieje taki wielomian Q(x), że W(x)=Q(x)*P(x).

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy miejsce zerowe. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(a)=0.

Liczba a jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez (x-a)^k i nie jest podzielny przez (x-a)^k+1. k nazywamy krotnością pierwiastka.
Liczba ta ma duże znaczenie przy rozwiązywaniu nierówności (patrz niżej).

Twierdzenie o równości wielomianów

Dwa wielomiany zmiennej x są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Twierdzenie o dzieleniu wielomianów

Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), że W(x)=P(x)*Q(x) + R(x), gdzie R(x)=0 lub st.R(x) < st.P(x)


Twierdzenie o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a jaest równa W(a)

Twierdzenie Bezouta
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a.

Twierdzenie o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Jeżeli wielomian W(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, a_n0, a₀0, o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek całkowity p, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Jeżeli wielomian W(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, a_n0, a₀0, o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego p/q, pC, qC-{0}, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, zaś q jest dzielnikiem współczynnika a_n przy najwyższej potędze.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia drugiego o wspłóczynikach rzeczywistych.

Twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu.

Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe rozwiązujemy, korzystając z twierdzenia Bezouta i twierdzenia o wymiernych (całkowitych) pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Pozwalają one rozłożyć wielomian na czynniki i w ten sposób odczytać miejsca zerowe.

Jeżeli odnajdziemy pierwiastek wielomianu, korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach i tym pierwiastkiem jest a, musimy podzielić wielomian przez dwumian x-a, aby otrzymać iloczyn dwumianu przez wielomian stopnia niższego (z tw. Bezouta). Najłatwiej to uczynić schematem Hornera:



Jeśli p jest pierwiastkiem wielomianu a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0, to pole pod wyrazem wolnym a₀ równe jest 0. Oczywiście co pokazuje powyższy schemat jest to wniosek oczywisty, gdyż pracując na zmiennych otrzymaliśmy tam wielomian równoważny wyjściowemy (no i z założenia dla tego p równy 0). Jeśli nie jest równe 0, oznacza to że wielomian nie jest podzielny przez dany dwumian, a dana liczba jest resztą z dzielenia.

Jak wpisujemy liczby do tabelki w schemacie Hornera?
Otóż najpierw uzupełniamy współczynniki wielomianu przy kolejnych potęgach i wpisujemy pierwiastek. Następnie współczynnik przy największej potędze przepisujemy pole niżej. Dalej mnożymy go razy pierwiastek i dodajemy wspołczynnik przy potędze niższej i wpisujemy pod tym wspólczynnikiem itd. UWAGA! Jeśli współczynnik przy jakiejś potędze wynosi 0, też wpisujemy to do tabelki (nie opuszczamy). Następnie możemy zapisać wyjściowy wielomian jako iloczyn dwumianu x-p i wielomianu, którego współczynniki spisujemy ze schematu Hornera (na dole od drugiego pola w kierunku prawym - zaczynamy od zmiennej w potędze o jeden niższej niż w wyjściowym wielomianie).

Oto przykład:

Dzielimy wielomian 2x³-x+1=0 przez dwumian x+1 (pierwiastkiem ma być -1)


Zatem 2x³-x+1=(x+1)(2x²-2x+1)

Nierówności wielomianowe

Jeśli mamy wielomian W(x) rozłożony na czynniki (a więc rozwiązaliśmy jak gdyby równianie), pojawia się problem nierówności np. W(x)>0.

Najprostszą metodą jej rozwiązania jest sporządzenie wykresu funkcji (przybliżonego). Miejsca zerowe możemy odczytać z rozkładu na czynniki. Wiemy też, że jeśli krotność pierwiastka jest nieparzysta, wtedy wykres zmienia znak w danym punkcie, jeśli krotność jest parzysta wielomian znaku nie zmienia. Ostatnią informacją potrzebną do sporządzenia wykresu jest to, że wartości wielomianu dla x większych od największego miejsca zerowego są tego samego znaku co współczynnik w najwyższej potędze tego wielomianu.

Zobaczmy na przykładzie:
Mamy nierówność 2(x-1)²(x+2)<0.
Pierwiastkiem podwójnym jest 1, pojedynczym -2. Zatem wielomian zmieni znak dla x=-2 i nie zmieni go dla x=1. Ponieważ współczynnik przy największej potędze jest dodatni (po wymnożeniu byłoby 2x³ zatem współczynnik 2 - poza tym mając tylko rozkład na czynniki możemy spojrzeć na współczynnik przed czynnikami ze zmienną x - też 2) zatem na prawo od 1 wartości funkcji będą dodatnie.


Zatem x<-2.