|
Język prawdopodobieństwa
Mimo istotnego podobieństwa rachunku prawdopodobieństwa do działań na zbiorach wiele takich samych oznaczeń czytamy w inny sposób:
| Oznaczenie | Terminologia |
 | zdarzenie pewne |
 | zdarzenie niemożliwe |
 | zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu losowemu A |
| A = B | zdarzenia identyczne |
A  B | zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B |
A  B | suma zdarzeń A i B |
A  B | iloczyn zdarzeń A i B |
| A \ B | Różnica zdarzeń A i B |
| A' = \ A | zdarzenie przeciwne |
| A B = | zdarzenia wykluczające się |
 | moc zdarzenia A |
Zdarzenie elementarne jest w rachunku prawdopodobieństwa pojęciem pierwotnym (niedefiniowalnym). Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych) oznaczamy symbolem .
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych
Każdemu zdarzeniu A przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba P(A) zwana prawdopodobieństwem zdarzenia A spełniająca następujące aksjomaty:
1. P(A)  0
2. Dla każdej pary wyłączających się zdarzeń A i B zawartych w zachodzi równość
P(AB) = P(A) + P(B)
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego
P() = 1
Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo jest funkcją, która zdarzeniu przyporządkowuje liczbę.
Własności prawdopodobieństwa
1. P() = 0
2. A B  P(A)  P(B)
3.  P(A) 1
4. P(A') = 1 - P(A)
5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeżeli przestrzeń jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowe prawdopodobne, natomiast A jest dowolnym zdarzeniem tej przestrzeni, to:
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B nazywamy liczbę:
 , gdzie A, B i P(B) > 0
Prawdopodobieństwo całkowite
Jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem, natomiast B1, B2, B3, ..., Bn spełniają warunki:
1. B1 B2 B3 ... Bn =
2. wykluczają się parami
3. mają dodatnie prawdopodobieństwa, to
P(A) = P(A|B1)*P(B1) + P(A|B1)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)
Niezależność zdarzeń
1. Niezależność dwóch zdarzeń
Dwa zdarzenia A,B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy:
P(AB) = P(A)*P(B)
2. Niezależność trzech zdarzeń
Trzy zdarzenia A,B,C są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy:
P(AB) = P(A)*P(B)
P(AC) = P(A)*P(C)
P(BC) = P(B)*P(C)
P(ABC) = P(A)*P(B)*P(C)
Schemat Bernoulliego
Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie, w którym możliwe jest otrzymanie jednego z dwóch wyników. Jeden z tych wyników, o prawdopodobieństwie p (0;1), nazywamy sukcesem, a drugi, o prawdopodobieństwie q=1-p porażką
Schemat Bernoulliego jest ciągiem niezależnych powtórzeń prób Bernoulliego
Jeśli nN+ i k{0,1,...,n}, to prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach określone jest wzorem:
Teraz odpowiemy sobie na pytanie, ile sukcesów jest najbardziej prawdopodobne do uzyskania w n próbach. Otóż jeśli liczba
(n+1)*pC, to najbardziej prawdopodobne do uzyskania są wartości
(n+1)*p-1 i (n+1)*p.
Jeśli natomiast (n+1)*p C, to najbardziej prawdopodobna wartość k do uzyskania wynosi [(n+1)*p], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x np. [5,4]=5, [6,01]=6.
|
